Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $25$ e $9$ .

$\sqrt{34}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(5, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 5, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(5, 0), (- 5, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{34}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{34}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\sqrt{34}, 0), (- \sqrt{34}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(3)}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 3^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 9}}{5}$

Etapa 8.3.3

Some $25$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{34}}{5}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{34}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{34}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{34}}$ por $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{34}}$ por $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{34}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{34}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{34}}^{2}$ como $34$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{34}$ como $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{9 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{9 \sqrt{34}}{34}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{5} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{3}{5} x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $\frac{3}{5} x$ e $0$ .

$y = \frac{3}{5} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{3}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{5}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{3}{5} x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- \frac{3}{5} x$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{5} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5}$

Etapa 12.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{5}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{5}, y = - \frac{3 x}{5}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(5, 0), (- 5, 0)$

Ponto imaginário: $(\sqrt{34}, 0), (- \sqrt{34}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{34}}{5}$

Parâmetro focal: $\frac{9 \sqrt{34}}{34}$

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{5}$ , $y = - \frac{3 x}{5}$

Etapa 15