Álgebra Exemplos

$\log_{9} (x) + \log_{9} (8 x - 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (x (8 x - 1)) = 1$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (x (8 x) + x \cdot - 1) = 1$

Etapa 1.2.2

Reordene.

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{9} (8 x \cdot x + x \cdot - 1) = 1$

Etapa 1.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{9} (8 x \cdot x - 1 \cdot x) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1

Mova $x$ .

$\log_{9} (8 (x \cdot x) - 1 \cdot x) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{9} (8 x^{2} - 1 \cdot x) = 1$

Etapa 1.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\log_{9} (8 x^{2} - x) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{9} (8 x^{2} - x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{1} = 8 x^{2} - x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $8 x^{2} - x = 9^{1}$ .

$8 x^{2} - x = 9$

Etapa 3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$8 x^{2} - x - 9 = 0$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot - 9 = - 72$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$8 x^{2} - (x) - 9 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $- 1$ como $8$ mais $- 9$

$8 x^{2} + (8 - 9) x - 9 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 8 x - 9 x - 9 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(8 x^{2} + 8 x) - 9 x - 9 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$8 x (x + 1) - 9 (x + 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x + 1) (8 x - 9) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$8 x - 9 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.6

Defina $8 x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $8 x - 9$ como igual a $0$ .

$8 x - 9 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $8 x - 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$8 x = 9$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $8 x = 9$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $8 x = 9$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{9}{8}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{9}{8}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{8}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (8 x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{9}{8}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{9} (x) + \log_{9} (8 x - 1) = 1$ verdadeira.

$x = \frac{9}{8}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{9}{8}$

Forma decimal:

$x = 1.125$

Forma de número misto:

$x = 1 \frac{1}{8}$