Álgebra Exemplos

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) (x + 2)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) = 1$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) = 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 2 = e$

Etapa 4.2

Subtraia $e$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 2 - e$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6

Some $1$ e $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$ verdadeira.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.72896429 \dots$