Álgebra Exemplos

$\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 5) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (x + 2) - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - 5 x - 10) = \ln (x - 14)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $5 x$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2} - 3 x - 10) = \ln (x - 14)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 10 = x - 14$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 10 - x = - 14$

Etapa 3.1.2

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 10 = - 14$

Etapa 3.2

Some $14$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x - 10 + 14 = 0$

Etapa 3.3

Some $- 10$ e $14$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Etapa 3.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 3.4.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 3.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$ verdadeira.

$Nenhuma solução$