Álgebra Exemplos

$\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$

Etapa 1

Reescreva $\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = \frac{1}{125}$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{125}$

Etapa 2.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot 1$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ .

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 125$

Etapa 2.3.3

Multiplique $125$ por $1$ .

$x^{3} = 125$

Etapa 2.3.4

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 125 = 0$

Etapa 2.3.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Etapa 2.3.5.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.3.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.3.5.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Etapa 2.3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Etapa 2.3.7

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.7.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.7.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.3.8

Defina $x^{2} + 5 x + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.8.1

Defina $x^{2} + 5 x + 25$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Etapa 2.3.8.2

Resolva $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.8.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.8.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.8.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 2.3.8.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.3.8.2.3.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.8.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3.8.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$