Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{2} - 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} - 1$ como uma equação.

$y = x^{2} - 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{2} - 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{2} - 1 = x$ .

$y^{2} - 1 = x$

Etapa 3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y^{2} = x + 1$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x + 1}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x + 1}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ é o inverso de $f (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x^{2} - 1$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{x + 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 1 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ é o intervalo de $f (x) = x^{2} - 1$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ é o domínio de $f (x) = x^{2} - 1$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ é o inverso de $f (x) = x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

Etapa 6