Álgebra Exemplos

$x^{9} - x^{6} - x^{3} + 1$

Etapa 1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{9} - x^{6}) - x^{3} + 1$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{6} (x^{3} - 1) - (x^{3} - 1)$

Etapa 2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{3} - 1$ .

$(x^{3} - 1) (x^{6} - 1)$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{6} - 1)$

Etapa 4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

Etapa 5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} - 1)$

Etapa 6

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1)$

Etapa 7

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1^{3})$

Etapa 8

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 9.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Etapa 9.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 10

Combine expoentes.

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Etapa 10.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 10.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 10.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 11

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 11.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

Etapa 12

Um elevado a qualquer potência é um.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

Etapa 13

Fatore.

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Etapa 13.1

Reescreva $x^{4} + x^{2} + 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 13.1.1

Reescreva o termo central.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

Etapa 13.1.2

Reorganize os termos.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

Etapa 13.1.3

Fatore os três primeiros termos pela regra do quadrado perfeito.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

Etapa 13.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2} + 1$ e $b = x$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

Etapa 13.1.5

Simplifique.

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Etapa 13.1.5.1

Reordene os termos.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

Etapa 13.1.5.2

Reordene os termos.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Etapa 13.2

Remova os parênteses desnecessários.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Etapa 14

Combine expoentes.

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Etapa 14.1

Eleve $x^{2} + x + 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} (x^{2} + x + 1)) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Etapa 14.2

Eleve $x^{2} + x + 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} {(x^{2} + x + 1)}^{1}) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Etapa 14.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Etapa 14.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$