Álgebra Exemplos

$\log_{x} (125) = - 3$

Etapa 1

Reescreva $\log_{x} (125) = - 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 125$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{3}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{3}} = 125$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{3}} = 125$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 125 x^{3}$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a equação como $125 x^{3} = 1$ .

$125 x^{3} = 1$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$125 x^{3} - 1 = 0$

Etapa 2.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.4.3.1

Reescreva $125 x^{3}$ como ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 2.4.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 5 x$ e $b = 1$ .

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.4.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.3.4.1

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.4.3.4.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.4.3.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.4.3.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Etapa 2.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Etapa 2.4.5

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.5.1

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.5.2

Resolva $5 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 x = 1$

Etapa 2.4.5.2.2

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.4.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.4.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.4.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 2.4.6

Defina $25 x^{2} + 5 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.6.1

Defina $25 x^{2} + 5 x + 1$ como igual a $0$ .

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Etapa 2.4.6.2

Resolva $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.6.2.2

Substitua os valores $a = 25$ , $b = 5$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.6.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

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Etapa 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 100$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.4.6.2.3.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Etapa 2.4.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Etapa 2.4.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Etapa 2.4.6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Etapa 2.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$