Álgebra Exemplos

$\log_{5} (x + 10) + \log_{5} (x - 10) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 10) (x - 10)) = 3$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 10) (x - 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x (x - 10) + 10 (x - 10)) = 3$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10)) = 3$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10) = 3$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 10$ e $10 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10) = 3$

Etapa 1.3.1.2

Some $- 10 x$ e $10 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10) = 3$

Etapa 1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 10 \cdot - 10) = 3$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 \cdot - 10) = 3$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $10$ por $- 10$ .

$\log_{5} (x^{2} - 100) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (x^{2} - 100) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} - 100$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 100 = 5^{3}$ .

$x^{2} - 100 = 5^{3}$

Etapa 3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$x^{2} - 100 = 125$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Some $100$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 125 + 100$

Etapa 3.3.2

Some $125$ e $100$ .

$x^{2} = 225$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{225}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{225}$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{15^{2}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 15$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 15$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 15$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 15, - 15$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x + 10) + \log_{5} (x - 10) = 3$ verdadeira.

$x = 15$