Álgebra Exemplos

$\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 12) (x - 12)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 12) (x - 12)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x (x - 12) + 12 (x - 12)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 (x - 12)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 12$ e $12 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Some $- 12 x$ e $12 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 12 \cdot - 12) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 12 \cdot - 12) = 2$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 12 \cdot - 12) = 2$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $12$ por $- 12$ .

$\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 144$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 144 = 5^{2}$ .

$x^{2} - 144 = 5^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 144 = 25$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Some $144$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 25 + 144$

Etapa 3.3.2

Some $25$ e $144$ .

$x^{2} = 169$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{169}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{169}$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{13^{2}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 13$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 13$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 13$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 13, - 13$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$ verdadeira.

$x = 13$