Álgebra Exemplos

$y = 7 x^{2} - 3$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 7 y^{2} - 3$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $7 y^{2} - 3 = x$ .

$7 y^{2} - 3 = x$

Etapa 2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$7 y^{2} = x + 3$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $7 y^{2} = x + 3$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $7 y^{2} = x + 3$ por $7$ .

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{7} + \frac{3}{7}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{7} + \frac{3}{7}}$ .

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Etapa 2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 3}{7}}$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\sqrt{\frac{x + 3}{7}}$ como $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{7}}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Etapa 2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Etapa 2.5.4.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Etapa 2.5.4.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Etapa 2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Etapa 2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 3} \sqrt{7}}{7}$

Etapa 2.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 3) \cdot 7}}{7}$

Etapa 2.5.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x + 3) \cdot 7}}{7}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$ é o inverso de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 3, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{7 (x + 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$7 (x + 3) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em $7 (x + 3) \geq 0$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 4.3.2.1.1

Divida cada termo em $7 (x + 3) \geq 0$ por $7$ .

$\frac{7 (x + 3)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 4.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 (x + 3)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Etapa 4.3.2.1.2.1.2

Divida $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 \geq \frac{0}{7}$

Etapa 4.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $7$ .

$x + 3 \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 3$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 3, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ .

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Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$ é o intervalo de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$ é o domínio de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$ é o inverso de $f (x) = 7 x^{2} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}, - \frac{\sqrt{7 (x + 3)}}{7}$

Etapa 5