Álgebra Exemplos

$x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 7 x^{3} - 8 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = x^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{3}$ .

$u^{2} - 7 u - 8 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 7 u - 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 8, 1$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u + 1) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$(x^{3} - 8) (x^{3} + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

$x^{3} + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{3} - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x^{3} - 8$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{3} - 8 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 8$

Etapa 3.2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 8 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Etapa 3.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 3.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.2.6

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 3.2.6.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 3.2.6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 3.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 4

Defina $x^{3} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x^{3} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{3} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{3} = - 1$

Etapa 4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{3} + 1 = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Etapa 4.2.3.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Etapa 4.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 4.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.2.6

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 4.2.6.2

Resolva $x^{2} - x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{3} - 8) (x^{3} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$