Álgebra Exemplos

$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} - 5 u - 36 = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} - 5 u - 36$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 36$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 9, 4$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u + 4) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 8

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 9

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 9.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 10

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 10.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 10.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 10.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 10.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 10.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 10.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 10.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 10.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 10.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, 2 i, - 2 i$