Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - x - 1$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $2 x^{2} - x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 1$

$c = - 1$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 1}{4}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - 1 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = - 1 - \frac{1}{8}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Etapa 1.1.1.4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Etapa 1.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 1 \cdot 8 - 1}{8}$

Etapa 1.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$e = \frac{- 8 - 1}{8}$

Etapa 1.1.1.4.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 8$ .

$e = \frac{- 9}{8}$

Etapa 1.1.1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{9}{8}$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$

Etapa 1.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{4}$

$k = - \frac{9}{8}$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{4}, - 1)$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{5}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Eixo de simetria: $x = \frac{1}{4}$

Diretriz: $y = - \frac{5}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Eixo de simetria: $x = \frac{1}{4}$

Diretriz: $y = - \frac{5}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - (- 1) - 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 - (- 1) - 1$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 1 - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $2$ e $1$ .

$f (- 1) = 3 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (- 1) = 2$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $2$ .

$y = 2$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} - (- 2) - 1$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 - (- 2) - 1$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- 2) = 8 - (- 2) - 1$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 8 + 2 - 1$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $8$ e $2$ .

$f (- 2) = 10 - 1$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$f (- 2) = 9$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 2$ é $9$ .

$y = 9$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - (1) - 1$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1) - 1$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - (1) - 1$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 1 - 1$

Etapa 2.8.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (1) = 1 - 1$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = 0$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 1$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) - 1$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) - 1$

Etapa 2.11.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = 2^{1 + 2} - (2) - 1$

Etapa 2.11.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (2) = 2^{3} - (2) - 1$

Etapa 2.11.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 8 - (2) - 1$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 2 - 1$

Etapa 2.11.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Subtraia $2$ de $8$ .

$f (2) = 6 - 1$

Etapa 2.11.2.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$f (2) = 5$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 2$ é $5$ .

$y = 5$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 9 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & - \frac{9}{8} \\ 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Eixo de simetria: $x = \frac{1}{4}$

Diretriz: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 9 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & - \frac{9}{8} \\ 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}$

Etapa 4