Álgebra Exemplos

$\sqrt{4 y + 16} - \sqrt{y - 5} = 6$

Etapa 1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{4 y + 16} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $4$ de $4 y + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $4$ de $4 y$ .

$\sqrt{4 (y) + 16} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $16$ .

$\sqrt{4 y + 4 \cdot 4} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $4 y + 4 \cdot 4$ .

$\sqrt{4 (y + 4)} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $4 (y + 4)$ como $2^{2} (y + 2^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} (y + 4)} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} (y + 2^{2})} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{y + 2^{2}} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \sqrt{y + 4} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $2 \sqrt{y + 4}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $\sqrt{y - 5}$ aos dois lados da equação.

$2 \sqrt{y + 4} - 6 = \sqrt{y - 5}$

Etapa 3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 \sqrt{y + 4} = \sqrt{y - 5} + 6$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{y + 4})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 4}$ como ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${(2 {(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(y + 4)}^{1} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$4 (y + 4) = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 4 \cdot 4 = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$4 y + 16 = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique ${(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva ${(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$ como $(\sqrt{y - 5} + 6) (\sqrt{y - 5} + 6)$ .

$4 y + 16 = (\sqrt{y - 5} + 6) (\sqrt{y - 5} + 6)$

Etapa 5.3.1.2

Expanda $(\sqrt{y - 5} + 6) (\sqrt{y - 5} + 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 16 = \sqrt{y - 5} (\sqrt{y - 5} + 6) + 6 (\sqrt{y - 5} + 6)$

Etapa 5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 16 = \sqrt{y - 5} \sqrt{y - 5} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 (\sqrt{y - 5} + 6)$

Etapa 5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 16 = \sqrt{y - 5} \sqrt{y - 5} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1

Multiplique $\sqrt{y - 5} \sqrt{y - 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1.1

Eleve $\sqrt{y - 5}$ à potência de $1$ .

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{1} \sqrt{y - 5} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{y - 5}$ à potência de $1$ .

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{1} {\sqrt{y - 5}}^{1} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{2} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{y - 5}}^{2}$ como $y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 5}$ como ${(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 16 = {({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{1} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.2.5

Simplifique.

$4 y + 16 = y - 5 + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt{y - 5}$ .

$4 y + 16 = y - 5 + 6 \cdot \sqrt{y - 5} + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Multiplique $6$ por $6$ .

$4 y + 16 = y - 5 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \sqrt{y - 5} + 36$

Etapa 5.3.1.3.2

Some $- 5$ e $36$ .

$4 y + 16 = y + 31 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \sqrt{y - 5}$

Etapa 5.3.1.3.3

Some $6 \sqrt{y - 5}$ e $6 \sqrt{y - 5}$ .

$4 y + 16 = y + 31 + 12 \sqrt{y - 5}$

Etapa 6

Resolva $12 \sqrt{y - 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $y + 31 + 12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16$ .

$y + 31 + 12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $12 \sqrt{y - 5}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$31 + 12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16 - y$

Etapa 6.2.2

Subtraia $31$ dos dois lados da equação.

$12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16 - y - 31$

Etapa 6.2.3

Subtraia $y$ de $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 5} = 3 y + 16 - 31$

Etapa 6.2.4

Subtraia $31$ de $16$ .

$12 \sqrt{y - 5} = 3 y - 15$

Etapa 7

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(12 \sqrt{y - 5})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 5}$ como ${(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique ${(12 {(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Aplique a regra do produto a $12 {(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$144 {({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$144 {(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$144 {(y - 5)}^{1} = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.4

Simplifique.

$144 (y - 5) = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$144 y + 144 \cdot - 5 = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $144$ por $- 5$ .

$144 y - 720 = {(3 y - 15)}^{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique ${(3 y - 15)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva ${(3 y - 15)}^{2}$ como $(3 y - 15) (3 y - 15)$ .

$144 y - 720 = (3 y - 15) (3 y - 15)$

Etapa 8.3.1.2

Expanda $(3 y - 15) (3 y - 15)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$144 y - 720 = 3 y (3 y - 15) - 15 (3 y - 15)$

Etapa 8.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$144 y - 720 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y - 15)$

Etapa 8.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$144 y - 720 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$144 y - 720 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$144 y - 720 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$144 y - 720 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3.1.4

Multiplique $- 15$ por $3$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 45 y - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 15$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 45 y - 45 y - 15 \cdot - 15$

Etapa 8.3.1.3.1.6

Multiplique $- 15$ por $- 15$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 45 y - 45 y + 225$

Etapa 8.3.1.3.2

Subtraia $45 y$ de $- 45 y$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 90 y + 225$

Etapa 9

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$9 y^{2} - 90 y + 225 = 144 y - 720$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $144 y$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} - 90 y + 225 - 144 y = - 720$

Etapa 9.2.2

Subtraia $144 y$ de $- 90 y$ .

$9 y^{2} - 234 y + 225 = - 720$

Etapa 9.3

Some $720$ aos dois lados da equação.

$9 y^{2} - 234 y + 225 + 720 = 0$

Etapa 9.4

Some $225$ e $720$ .

$9 y^{2} - 234 y + 945 = 0$

Etapa 9.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Fatore $9$ de $9 y^{2} - 234 y + 945$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1.1

Fatore $9$ de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 234 y + 945 = 0$

Etapa 9.5.1.2

Fatore $9$ de $- 234 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 26 y) + 945 = 0$

Etapa 9.5.1.3

Fatore $9$ de $945$ .

$9 y^{2} + 9 (- 26 y) + 9 \cdot 105 = 0$

Etapa 9.5.1.4

Fatore $9$ de $9 y^{2} + 9 (- 26 y)$ .

$9 (y^{2} - 26 y) + 9 \cdot 105 = 0$

Etapa 9.5.1.5

Fatore $9$ de $9 (y^{2} - 26 y) + 9 \cdot 105$ .

$9 (y^{2} - 26 y + 105) = 0$

Etapa 9.5.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1

Fatore $y^{2} - 26 y + 105$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $105$ e cuja soma é $- 26$ .

$- 21, - 5$

Etapa 9.5.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$9 ((y - 21) (y - 5)) = 0$

Etapa 9.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$9 (y - 21) (y - 5) = 0$

Etapa 9.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 21 = 0$

$y - 5 = 0$

Etapa 9.7

Defina $y - 21$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Defina $y - 21$ como igual a $0$ .

$y - 21 = 0$

Etapa 9.7.2

Some $21$ aos dois lados da equação.

$y = 21$

Etapa 9.8

Defina $y - 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Defina $y - 5$ como igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Etapa 9.8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = 5$

Etapa 9.9

A solução final são todos os valores que tornam $9 (y - 21) (y - 5) = 0$ verdadeiro.

$y = 21, 5$