Álgebra Exemplos

$\ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})$

Etapa 1

Reescreva $\ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})$ como $\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})$ .

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (8 e^{2} x^{5})$ como $\ln (8 e^{2}) + \ln (x^{5})$ .

$\ln (8 e^{2}) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4

Reescreva $\ln (8 e^{2})$ como $\ln (8) + \ln (e^{2})$ .

$\ln (8) + \ln (e^{2}) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5

Expanda $\ln (e^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\ln (8) + 2 \ln (e) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 6

Expanda $\ln (x^{5})$ movendo $5$ para fora do logaritmo.

$\ln (8) + 2 \ln (e) + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (8) + 2 \cdot 1 + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 9

Reescreva $\ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ como $\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 10

Expanda $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Etapa 11

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1

Reescreva $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$\ln (2^{3}) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Etapa 11.2

Expanda $\ln (2^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Etapa 11.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (x + 2)$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Etapa 11.4

Para escrever $\ln (x^{2} + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Etapa 11.5

Combine $\ln (x^{2} + 1)$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\frac{\ln (x^{2} + 1) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Etapa 11.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{\ln (x^{2} + 1) \cdot 3 + \ln (x + 2)}{3}$

Etapa 11.7

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (x^{2} + 1)$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{3 \ln (x^{2} + 1) + \ln (x + 2)}{3}$