Álgebra Exemplos

$y = {(x - 3)}^{2} + 2$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = 3$

$k = 2$

Etapa 1.2

Como o valor de

$a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.3

Encontre o vértice

$(h, k)$ .

$(3, 2)$

Etapa 1.4

Encontre

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor de

$a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.5

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

$p$ com a coordenada y

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.5.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(3, \frac{9}{4})$

Etapa 1.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 3$

Etapa 1.7

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

$p$ da coordenada y

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores conhecidos de

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{7}{4}$

Etapa 1.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(3, 2)$

Foco:

$(3, \frac{9}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 3$

Diretriz:

$y = \frac{7}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice:

$(3, 2)$

Foco:

$(3, \frac{9}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 3$

Diretriz:

$y = \frac{7}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

$y$ . Os valores de

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 11$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$f (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 11$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

$- 6$ por

$2$ .

$f (2) = 4 - 12 + 11$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia

$12$ de

$4$ .

$f (2) = - 8 + 11$

Etapa 2.2.2.2

Some

$- 8$ e

$11$ .

$f (2) = 3$

Etapa 2.2.3

A resposta final é

$3$ .

$3$

Etapa 2.3

O valor

$y$ em

$x = 2$ é

$3$ .

$y = 3$

Etapa 2.4

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 11$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 11$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique

$- 6$ por

$1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 11$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia

$6$ de

$1$ .

$f (1) = - 5 + 11$

Etapa 2.5.2.2

Some

$- 5$ e

$11$ .

$f (1) = 6$

Etapa 2.5.3

A resposta final é

$6$ .

$6$

Etapa 2.6

O valor

$y$ em

$x = 1$ é

$6$ .

$y = 6$

Etapa 2.7

Substitua a variável

$x$ por

$4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 11$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$f (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 11$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique

$- 6$ por

$4$ .

$f (4) = 16 - 24 + 11$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia

$24$ de

$16$ .

$f (4) = - 8 + 11$

Etapa 2.8.2.2

Some

$- 8$ e

$11$ .

$f (4) = 3$

Etapa 2.8.3

A resposta final é

$3$ .

$3$

Etapa 2.9

O valor

$y$ em

$x = 4$ é

$3$ .

$y = 3$

Etapa 2.10

Substitua a variável

$x$ por

$5$ na expressão.

$f (5) = {(5)}^{2} - 6 \cdot 5 + 11$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve

$5$ à potência de

$2$ .

$f (5) = 25 - 6 \cdot 5 + 11$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique

$- 6$ por

$5$ .

$f (5) = 25 - 30 + 11$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Subtraia

$30$ de

$25$ .

$f (5) = - 5 + 11$

Etapa 2.11.2.2

Some

$- 5$ e

$11$ .

$f (5) = 6$

Etapa 2.11.3

A resposta final é

$6$ .

$6$

Etapa 2.12

O valor

$y$ em

$x = 5$ é

$6$ .

$y = 6$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(3, 2)$

Foco:

$(3, \frac{9}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 3$

Diretriz:

$y = \frac{7}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}$

Etapa 4