Álgebra Exemplos

$x = {(y + 2)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique ${(y + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(y + 2)}^{2}$ como $(y + 2) (y + 2)$ .

$x = (y + 2) (y + 2)$

Etapa 1.2

Expanda $(y + 2) (y + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = y (y + 2) + 2 (y + 2)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$x = y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x = y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = y^{2} + 2 y + 2 y + 4$

Etapa 1.3.2

Some $2 y$ e $2 y$ .

$x = y^{2} + 4 y + 4$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $y^{2} + 4 y + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 4$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 4 - 4$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$e = 0$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + 2)}^{2} + 0$ .

${(y + 2)}^{2} + 0$

Etapa 2.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y + 2)}^{2} + 0$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 2$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, - 2)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{4}, - 2)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 2$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, - 2)$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - \frac{1}{4}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, - 2)$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - \frac{1}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \sqrt{x} - 2$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{1} - 2$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = \sqrt{1} - 2$

Etapa 3.1.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Etapa 3.1.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 3.1.3

Converta $- 1$ em decimal.

$= - 1$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - \sqrt{x} - 2$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \sqrt{1} - 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = - \sqrt{1} - 2$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 - 2$

Etapa 3.2.2.3

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f (1) = - 3$

Etapa 3.2.2.4

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 3.2.3

Converta $- 3$ em decimal.

$= - 3$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \sqrt{x} - 2$ . Nesse caso, o ponto é $(2, - 0.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{2} - 2$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = \sqrt{2} - 2$

Etapa 3.3.2.2

A resposta final é $\sqrt{2} - 2$ .

$y = \sqrt{2} - 2$

Etapa 3.3.3

Converta $\sqrt{2} - 2$ em decimal.

$= - 0.58578643$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = - \sqrt{x} - 2$ . Nesse caso, o ponto é $(2, - 3.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \sqrt{2} - 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = - \sqrt{2} - 2$

Etapa 3.4.2.2

A resposta final é $- \sqrt{2} - 2$ .

$y = - \sqrt{2} - 2$

Etapa 3.4.3

Converta $- \sqrt{2} - 2$ em decimal.

$= - 3.41421356$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 0.59 \\ 2 & - 3.41 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, - 2)$

Foco: $(\frac{1}{4}, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 0.59 \\ 2 & - 3.41 \end{array}$

Etapa 5