Álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de

$\frac{x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

$a$ ,

$b$ e

$c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de

$d$ usando a fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de

$a$ e

$b$ na fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de

$0$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore

$2$ de

$0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 0 \cdot 2$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique

$0$ por

$2$ .

$d = 0$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Combine

$4$ e

$\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida

$4$ por

$2$ .

$e = 0 - \frac{0}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Divida

$0$ por

$2$ .

$e = 0 - 0$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$e = 0 + 0$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some

$0$ e

$0$ .

$e = 0$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 2.1.2

Defina

$y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Etapa 2.3

Como o valor de

$a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice

$(h, k)$ .

$(0, 0)$

Etapa 2.5

Encontre

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de

$a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Combine

$4$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.5.3.2

Divida

$4$ por

$2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

$p$ com a coordenada y

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(0, \frac{1}{2})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 0$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

$p$ da coordenada y

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(0, 0)$

Foco:

$(0, \frac{1}{2})$

Eixo de simetria:

$x = 0$

Diretriz:

$y = - \frac{1}{2}$

Direção: abre para cima

Vértice:

$(0, 0)$

Foco:

$(0, \frac{1}{2})$

Eixo de simetria:

$x = 0$

Diretriz:

$y = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

$y$ . Os valores de

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de

${(- 2)}^{2}$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Reescreva

$- 2$ como

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a regra do produto a

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2}$

Etapa 3.2.1.3

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$f (- 2) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{2}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique

$2^{2}$ por

$1$ .

$f (- 2) = \frac{2^{2}}{2}$

Etapa 3.2.1.5

Fatore

$2$ de

$2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.6.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = \frac{2}{1}$

Etapa 3.2.1.6.4

Divida

$2$ por

$1$ .

$f (- 2) = 2$

Etapa 3.2.2

A resposta final é

$2$ .

$2$

Etapa 3.3

O valor

$y$ em

$x = - 2$ é

$2$ .

$y = 2$

Etapa 3.4

Substitua a variável

$x$ por

$- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2

A resposta final é

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.6

O valor

$y$ em

$x = - 1$ é

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 3.7

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum de

${(2)}^{2}$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Fatore

$2$ de

${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 3.8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = \frac{2}{1}$

Etapa 3.8.1.2.4

Divida

$2$ por

$1$ .

$f (2) = 2$

Etapa 3.8.2

A resposta final é

$2$ .

$2$

Etapa 3.9

O valor

$y$ em

$x = 2$ é

$2$ .

$y = 2$

Etapa 3.10

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.11.2

A resposta final é

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.12

O valor

$y$ em

$x = 1$ é

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(0, 0)$

Foco:

$(0, \frac{1}{2})$

Eixo de simetria:

$x = 0$

Diretriz:

$y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Etapa 5