Álgebra Exemplos

Find the equation of a line perpendicular to $4 x - 5 y = - 1$ that contains the point $(5, - 4)$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$4 x - 5 y = - 1$ , $(5, - 4)$

Etapa 2

Resolva $4 x - 5 y = - 1$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$- 5 y = - 1 - 4 x$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- 5 y = - 1 - 4 x$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- 5 y = - 1 - 4 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 1}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 1}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{1}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 2.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{1}{5} + \frac{4 x}{5}$

Etapa 3

Encontre a inclinação quando $y = \frac{1}{5} + \frac{4 x}{5}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva na forma reduzida.

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Etapa 3.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.1.2

Reordene $\frac{1}{5}$ e $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 3.1.3

Reordene os termos.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$

Etapa 3.2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{4}{5}$ .

$m = \frac{4}{5}$

Etapa 4

A equação de uma reta perpendicular deve ter uma inclinação que seja o inverso negativo da inclinação original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Etapa 5

Simplifique $- \frac{1}{\frac{4}{5}}$ para encontrar a inclinação da reta perpendicular.

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Etapa 5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$m_{perpendicular} = - (1 (\frac{5}{4}))$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{5}{4}$

Etapa 6

Encontre a equação da reta perpendicular usando a fórmula do ponto-declividade.

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Etapa 6.1

Use a inclinação $- \frac{5}{4}$ e um ponto determinado $(5, - 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - \frac{5}{4} \cdot (x - (5))$

Etapa 6.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 4 = - \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$

Etapa 7

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 7.1

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1.1

Simplifique $- \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$ .

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Etapa 7.1.1.1

Reescreva.

$y + 4 = 0 + 0 - \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 4 = - \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$

Etapa 7.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 4 = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 5$

Etapa 7.1.1.4

Combine $x$ e $\frac{5}{4}$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 5$

Etapa 7.1.1.5

Multiplique $- \frac{5}{4} \cdot - 5$ .

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Etapa 7.1.1.5.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} + 5 (\frac{5}{4})$

Etapa 7.1.1.5.2

Combine $5$ e $\frac{5}{4}$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5 \cdot 5}{4}$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{25}{4}$

Etapa 7.1.1.6

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y + 4 = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4}$

Etapa 7.1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} - 4$

Etapa 7.1.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.1.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25 - 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25 - 16}{4}$

Etapa 7.1.2.5.2

Subtraia $16$ de $25$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 7.2

Reordene os termos.

$y = - (\frac{5}{4} x) + \frac{9}{4}$

Etapa 7.3

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{4} x + \frac{9}{4}$

Etapa 8