Álgebra Exemplos

A line is perpendicular to $y = - \frac{1}{3} x + 7$ and intersects the point $(4, 2)$ What is the equation of this perpendicular line?

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$y = - \frac{1}{3} x + 7$ , $(4, 2)$

Etapa 2

Encontre a inclinação quando $y = - \frac{1}{3} x + 7$ .

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Etapa 2.1

Reescreva na forma reduzida.

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Etapa 2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + 7$

Etapa 2.1.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{3} x) + 7$

Etapa 2.1.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{3} x + 7$

Etapa 2.2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $- \frac{1}{3}$ .

$m = - \frac{1}{3}$

Etapa 3

A equação de uma reta perpendicular deve ter uma inclinação que seja o inverso negativo da inclinação original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4

Simplifique $- \frac{1}{- \frac{1}{3}}$ para encontrar a inclinação da reta perpendicular.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$m_{perpendicular} = 1 \cdot 3$

Etapa 4.3

Multiplique $- - (1 \cdot 3)$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = - (- 1 \cdot 3)$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$m_{perpendicular} = 3$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$m_{perpendicular} = 3$

Etapa 5

Encontre a equação da reta perpendicular usando a fórmula do ponto-declividade.

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Etapa 5.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(4, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 3 \cdot (x - (4))$

Etapa 5.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 3 \cdot (x - 4)$

Etapa 6

Resolva $y$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $3 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 6.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 4)$

Etapa 6.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = 3 \cdot (x - 4)$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = 3 x + 3 \cdot - 4$

Etapa 6.1.4

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$y - 2 = 3 x - 12$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 3 x - 12 + 2$

Etapa 6.2.2

Some $- 12$ e $2$ .

$y = 3 x - 10$

Etapa 7