Álgebra Exemplos

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $6 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 1.3

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{4}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{3}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

Etapa 1.3.3

Multiplique por $1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Etapa 1.3.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Etapa 1.3.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Etapa 1.4.1.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 1$ mais $- 3$

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Etapa 1.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Etapa 1.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Etapa 1.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.5

Fatore $3 x - 1$ de $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $3 x - 1$ de $2 (3 x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.5.2

Fatore $3 x - 1$ de $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

Etapa 1.5.3

Fatore $3 x - 1$ de $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.7.2

Some $2$ e $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

Etapa 1.9

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

Etapa 1.10

Reordene os termos.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

Etapa 1.11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Fatore $x^{3} - x^{2} + 2$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 1.11.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 1.11.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.11.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.11.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Etapa 1.11.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Etapa 1.11.1.3.5

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 1.11.1.3.6

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 1.11.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Etapa 1.11.1.5

Divida $x^{3} - x^{2} + 2$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.11.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Etapa 1.11.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.11.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.11.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 1.11.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 1.11.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 1.11.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.11.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.11.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Etapa 1.11.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 1.11.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 1.11.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 1.11.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 1.11.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 1.11.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x + 2$

Etapa 1.11.1.6

Escreva $x^{3} - x^{2} + 2$ como um conjunto de fatores.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

Etapa 1.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Etapa 3

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5

Defina $x^{2} - 2 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x^{2} - 2 x + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i, 1 - i$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

Etapa 7