Álgebra Exemplos

$P (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$

Etapa 1

Defina $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$2 x^{3} + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} + 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $2 x$ de $18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (9)$ .

$2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 72 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + u - 72 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + u - 72$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 72$ e cuja soma é $1$ .

$- 8, 9$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 x (x^{2} + 9) + (u - 8) (u + 9) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} + 9$ de $2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 9$ de $2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x + x^{2} - 8) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 9) (2 u + u^{2} - 8) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore $2 u + u^{2} - 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 2.1.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} + 9) ((u - 2) (u + 4)) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

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Etapa 2.1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 2.3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 2.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 2.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 2.3.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 2.3.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3 i, - 3 i, 2, - 4$

Etapa 3