Álgebra Exemplos

$y = x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2$

Etapa 1

Defina $x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2$ como igual a $0$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) + x^{2} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 2.1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x^{3} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x - 1$ de $x^{3} (x - 1) + (x - 1) (x + 2)$ .

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Etapa 2.1.4.1

Fatore $x - 1$ de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{3} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

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Etapa 2.1.5.1

Fatore $x^{3} + x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.5.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.5.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.5.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.5.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 1 + 2$

Etapa 2.1.5.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 1 + 2$

Etapa 2.1.5.1.3.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 2.1.5.1.3.4

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 2.1.5.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x + 2}{x + 1}$

Etapa 2.1.5.1.5

Divida $x^{3} + x + 2$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.1.5.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 2.1.5.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.5.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Etapa 2.1.5.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 2.1.5.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x + 2$

Etapa 2.1.5.1.6

Escreva $x^{3} + x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - x + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 3