Álgebra Exemplos

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

Etapa 1

Defina $- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ como igual a $0$ .

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- x^{3}$ de $- x^{4} + x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- x^{3}$ de $- x^{4}$ .

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- x^{3}$ de $x^{3}$ .

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- x^{3}$ de $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ e cuja soma é $b = - 41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Fatore $- 41$ de $- 41 x$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Reescreva $- 41$ como $- 20$ mais $- 21$

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Etapa 2.1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $21 x - 20$ .

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x - 1$ de $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $x - 1$ de $- x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Fatore $x - 1$ de $(21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

Etapa 2.1.4.3

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ .

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Reescreva $- x^{3} + 21 x - 20$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1

Fatore $- x^{3} + 21 x - 20$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.5.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 2.1.5.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

Etapa 2.1.5.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Etapa 2.1.5.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Etapa 2.1.5.1.1.3.4

Multiplique $21$ por $1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Etapa 2.1.5.1.1.3.5

Some $- 1$ e $21$ .

$20 - 20$

Etapa 2.1.5.1.1.3.6

Subtraia $20$ de $20$ .

$0$

Etapa 2.1.5.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

Etapa 2.1.5.1.1.5

Divida $- x^{3} + 21 x - 20$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Etapa 2.1.5.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

Etapa 2.1.5.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Etapa 2.1.5.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x - 20$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Etapa 2.1.5.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Etapa 2.1.5.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} - x + 20$

Etapa 2.1.5.1.1.6

Escreva $- x^{3} + 21 x - 20$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $4$ mais $- 5$

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 4$ .

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2.1.6

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2.1.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2.1.6.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $- x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $- x + 4$ como igual a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $- x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 4, - 5$

Etapa 3