Álgebra Exemplos

$y = 4 x^{4} - 11 x^{2} - 3$

Etapa 1

Defina $4 x^{4} - 11 x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$4 x^{4} - 11 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} - 11 u - 3 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 u$ .

$4 u^{2} - 11 u - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 11$ como $1$ mais $- 12$

$4 u^{2} + (1 - 12) u - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} + 1 u - 12 u - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$4 u^{2} + u - 12 u - 3 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} + u) - 12 u - 3 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u + 1) - 3 (4 u + 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (u - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $4 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $4 u + 1$ como igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $4 u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 u = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $4 u = - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.5

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u + 1) (u - 3) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{4}, 3$

Etapa 2.7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 3$

Etapa 2.8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.9.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2.9.2

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$ .

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Etapa 2.9.2.1

Reescreva $- \frac{1}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{i}{2}$

Etapa 2.9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i}{2}$

Etapa 2.9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i}{2}$

Etapa 2.9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Etapa 2.10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 3$

Etapa 2.11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.11.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.11.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.11.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.11.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.12

A solução para $4 x^{4} - 11 x^{2} - 3 = 0$ é $x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3