Álgebra Exemplos

$F (X) = x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 3 x$ de $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 11 u + 10 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $u^{2} - 11 u + 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 11$ .

$- 10, - 1$

Etapa 2.1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 10) (u - 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

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Etapa 2.1.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 2.1.11.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10) = 0$

Etapa 2.1.11.3

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 10) = 0$

Etapa 2.1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 u + u^{2} - 10) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore $- 3 u + u^{2} - 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 2.1.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 5) (u + 2)) = 0$

Etapa 2.1.14

Fatore.

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Etapa 2.1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1, 5, - 2$

Etapa 3