Álgebra Exemplos

$5^{x} - 5^{5 - x} = 150$

Etapa 1

Reescreva $5^{5 - x}$ como $5^{5} \cdot 5^{- x}$ .

$5^{x} - (5^{5} \cdot 5^{- x}) = 150$

Etapa 2

Reescreva $5^{- x}$ como exponenciação.

$5^{x} - (5^{5} \cdot {(5^{x})}^{- 1}) = 150$

Etapa 3

Remova os parênteses.

$5^{x} - 5^{5} {(5^{x})}^{- 1} = 150$

Etapa 4

Substitua $u$ por $5^{x}$ .

$u - 5^{5} u^{- 1} = 150$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$u - 1 \cdot (3125 u^{- 1}) = 150$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $3125$ .

$u - 3125 u^{- 1} = 150$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 3125 \frac{1}{u} = 150$

Etapa 5.4

Combine $- 3125$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 3125}{u} = 150$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u - \frac{3125}{u} = 150$

Etapa 6

Resolva $u$ .

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Etapa 6.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 6.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $u - \frac{3125}{u} = 150$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $u - \frac{3125}{u} = 150$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3125}{u}$ para o numerador.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 3125 = 150 u$

Etapa 6.3

Resolva a equação.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $150 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 3125 - 150 u = 0$

Etapa 6.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 150$ e $c = - 3125$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{150 \pm \sqrt{{(- 150)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3125)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4

Simplifique.

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Etapa 6.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.4.1.1

Eleve $- 150$ à potência de $2$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot 1 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 3125$ .

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Etapa 6.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 3125$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 + 12500}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.1.3

Some $22500$ e $12500$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{35000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.1.4

Reescreva $35000$ como $50^{2} \cdot 14$ .

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Etapa 6.3.4.1.4.1

Fatore $2500$ de $35000$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{2500 (14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.1.4.2

Reescreva $2500$ como $50^{2}$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{50^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$

Etapa 6.3.4.3

Simplifique $\frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 75 \pm 25 \sqrt{14}$

Etapa 6.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 75 + 25 \sqrt{14}, 75 - 25 \sqrt{14}$

Etapa 7

Substitua $75 + 25 \sqrt{14}$ por $u$ em $u = 5^{x}$ .

$75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Etapa 8

Resolva $75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Etapa 8.3

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Etapa 8.4

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 8.4.1

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Etapa 8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Etapa 9

Substitua $75 - 25 \sqrt{14}$ por $u$ em $u = 5^{x}$ .

$75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Etapa 10

Resolva $75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 - 25 \sqrt{14})$

Etapa 10.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (75 - 25 \sqrt{14})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 10.4

Não há uma solução para $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Nenhuma solução

Etapa 11

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 3.18569705 \dots$

Etapa 13