Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

Etapa 1

Defina $x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ como igual a $0$ .

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

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Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x^{3} + x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.5.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.5.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 1 - 2$

Etapa 2.1.5.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 1 - 2$

Etapa 2.1.5.3.3

Some $1$ e $1$ .

$2 - 2$

Etapa 2.1.5.3.4

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 2.1.5.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Etapa 2.1.5.5

Divida $x^{3} + x - 2$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.1.5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 2.1.5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.1.5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Etapa 2.1.5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 2.1.5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x + 2$

Etapa 2.1.5.6

Escreva $x^{3} + x - 2$ como um conjunto de fatores.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $x - 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

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Etapa 2.1.6.1

Fatore $x - 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.8.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.1.8.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.8.2

Some $2$ e $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.10

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore.

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Etapa 2.1.11.1

Reescreva $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.11.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.11.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.11.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.11.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2, i, - i$

Etapa 3