Álgebra Exemplos

$x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + u - 12 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore $u^{2} + u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 4 = 0$

Etapa 4

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 5

Defina $u + 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u + 4$ como igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$u = - 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 3) (u + 4) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, - 4$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 3$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 9.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 9.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 9.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 4$

Etapa 11.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 11.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 11.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 11.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 12

A solução para $x^{4} + x^{2} - 12 = 0$ é $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2 i, - 2 i$

Etapa 13