Álgebra Exemplos

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 2, 2 - x$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $x - 2$ é o próprio $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $2 - x$ é o próprio $2 - x$ .

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O MMC de $x - 2, 2 - x$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - 2) (2 - x)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ por $(x - 2) (2 - x)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ por $(x - 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} (2 - x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} x = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.2.1.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{1 + 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.2.1.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $2 - x$ de $(x - 2) (2 - x)$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = (- 7 x + 6) (x - 2)$

Etapa 2.3.2

Expanda $(- 7 x + 6) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x (x - 2) + 6 (x - 2)$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Etapa 2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Etapa 2.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x + 6 \cdot - 2$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x - 12$

Etapa 2.3.3.2

Some $14 x$ e $6 x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 20 x - 12$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Some $7 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} = 20 x - 12$

Etapa 3.1.2

Subtraia $20 x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x = - 12$

Etapa 3.1.3

Some $4 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x = - 12$

Etapa 3.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Fatore $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.3.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 3.3.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 3.3.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 3.3.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 3.3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 3.3.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 16 + 11 \cdot 4 - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 3.3.1.3.5

Multiplique $11$ por $4$ .

$- 16 + 44 - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 3.3.1.3.6

Some $- 16$ e $44$ .

$28 - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 3.3.1.3.7

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$28 - 40 + 12$

Etapa 3.3.1.3.8

Subtraia $40$ de $28$ .

$- 12 + 12$

Etapa 3.3.1.3.9

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 3.3.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12}{x - 2}$

Etapa 3.3.1.5

Divida $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ por $x - 2$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$12$

Etapa 3.3.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 3.3.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 3.3.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Etapa 3.3.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Etapa 3.3.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Etapa 3.3.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Etapa 3.3.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{2} - 14 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Etapa 3.3.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$

Etapa 3.3.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 3.3.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 3.3.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 3.3.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 3.3.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 3.3.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$

Etapa 3.3.1.6

Escreva $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot - 6 = 12$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Reescreva $7$ como $3$ mais $4$

$(x - 2) (- 2 x^{2} + (3 + 4) x - 6) = 0$

Etapa 3.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 2) ((- 2 x^{2} + 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 2) (x (- 2 x + 3) - 2 (- 2 x + 3)) = 0$

Etapa 3.3.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x + 3$ .

$(x - 2) ((- 2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.6

Defina $- 2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $- 2 x + 3$ como igual a $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $- 2 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 3$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 3$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, \frac{3}{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ verdadeira.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 5