Álgebra Exemplos

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

Etapa 1

Defina $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ como igual a $0$ .

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.2

Expanda $(2 x + 3) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $- 4 x$ e $3 x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

Etapa 2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

Etapa 2.3.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Subtraia $1$ de $- 6$ .

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

Etapa 2.3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.5

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 1$ e $c = - 7$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.6.1.3

Some $1$ e $56$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

Etapa 2.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

Etapa 2.4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ verdadeira.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Forma decimal:

$x = 2.13745860 \dots$

Etapa 4