Álgebra Exemplos

$0 = x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16$

Etapa 1

Reescreva a equação como $x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reagrupe os termos.

$- 3 x^{3} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} - 24 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $- 3 x$ de $- 24 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 8 + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8)$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + u^{2} + 10 u + 16 = 0$

Etapa 2.5

Fatore $u^{2} + 10 u + 16$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $10$ .

$2, 8$

Etapa 2.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x (x^{2} + 8) + (u + 2) (u + 8) = 0$

Etapa 2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Etapa 2.7

Fatore $x^{2} + 8$ de $- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ .

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Etapa 2.7.1

Fatore $x^{2} + 8$ de $- 3 x (x^{2} + 8)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Etapa 2.7.2

Fatore $x^{2} + 8$ de $(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.7.3

Fatore $x^{2} + 8$ de $(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x + x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 u + u^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.9

Fatore $- 3 u + u^{2} + 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 2.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} + 8) ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Etapa 2.10

Fatore.

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Etapa 2.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 8) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $x^{2} + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} + 8$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} + 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 8$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Etapa 4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Etapa 4.2.3.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.2.3.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.2.3.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Etapa 4.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}, 2, 1$

Etapa 8