Álgebra Exemplos

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Multiplique cada termo por um fator de $1$ , que vai equacionar todos os denominadores. Nesse caso, todos os termos precisam de um denominador de $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Multiplique a expressão por um fator de $1$ para criar o mínimo múltiplo comum (MMC) de $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot 2$

Etapa 3

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Simplifique $\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Etapa 4.1

Divida $2$ por $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.4.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 9.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 9.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 9.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 9.4.2

Combine frações.

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Etapa 9.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 9.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 9.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 9.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 10.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 10.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$