Álgebra Exemplos

$(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Etapa 1

Expanda $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Etapa 2.1.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$3 - 3 \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.5.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.7

Multiplique $5$ por $3$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Etapa 2.1.8

Multiplique $\sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Etapa 2.1.8.1

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Etapa 2.1.8.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Etapa 2.1.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Etapa 2.1.8.4

Some $1$ e $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {\sqrt{5}}^{2}$

Etapa 2.1.9

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 2.1.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.1.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.1.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.9.4.2

Reescreva a expressão.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{1}$

Etapa 2.1.9.5

Avalie o expoente.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5$

Etapa 2.1.10

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 15$

Etapa 2.2

Subtraia $15$ de $3$ .

$- 12 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15}$

Etapa 2.3

Some $- 3 \sqrt{15}$ e $\sqrt{15}$ .

$- 12 - 2 \sqrt{15}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 12 - 2 \sqrt{15}$

Forma decimal:

$- 19.74596669 \dots$