Álgebra Exemplos

$y = \cos (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $1$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Etapa 3.1.3

$\frac{1}{4}$ é aproximadamente $0.25$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 4$

Etapa 3.1.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 π$

Etapa 3.2

Encontre o período de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Etapa 3.2.3

$\frac{1}{4}$ é aproximadamente $0.25$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 4$

Etapa 3.2.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 π$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$8 π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

Mudança de fase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $- π$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $1$

Período: $8 π$

Mudança de fase: $- π$ ( $π$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- 2$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = - π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $- π$ na expressão.

$f (- π) = \cos (\frac{- π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- π) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 2$

Etapa 6.1.2.1.2

Some $- π$ e $π$ .

$f (- π) = \cos (\frac{0}{4}) - 2$

Etapa 6.1.2.1.3

Divida $0$ por $4$ .

$f (- π) = \cos (0) - 2$

Etapa 6.1.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (- π) = 1 - 2$

Etapa 6.1.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- π) = - 1$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (π) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.2

Some $π$ e $π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (π) = 0 - 2$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (π) = - 2$

Etapa 6.2.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = 3 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $3 π$ na expressão.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 2$

Etapa 6.3.2.1.2

Some $3 π$ e $π$ .

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Etapa 6.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Etapa 6.3.2.1.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (3 π) = \cos (π) - 2$

Etapa 6.3.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (3 π) = - \cos (0) - 2$

Etapa 6.3.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (3 π) = - 1 \cdot 1 - 2$

Etapa 6.3.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (3 π) = - 1 - 2$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f (3 π) = - 3$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = 5 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $5 π$ na expressão.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.2

Some $5 π$ e $π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5 π) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (5 π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (5 π) = 0 - 2$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (5 π) = - 2$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = 7 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $7 π$ na expressão.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 2$

Etapa 6.5.2.1.2

Some $7 π$ e $π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 2$

Etapa 6.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.3.1

Fatore $4$ de $8 π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 2$

Etapa 6.5.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 2$

Etapa 6.5.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 2$

Etapa 6.5.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (7 π) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 2$

Etapa 6.5.2.1.3.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (7 π) = \cos (2 π) - 2$

Etapa 6.5.2.1.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (7 π) = \cos (0) - 2$

Etapa 6.5.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (7 π) = 1 - 2$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (7 π) = - 1$

Etapa 6.5.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $1$

Período: $8 π$

Mudança de fase: $- π$ ( $π$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Etapa 8