Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x + 4} \geq 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{x + 4} - 2 \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{x + 4} - 2$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} - 2 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.2

Combine $- 2$ e $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} + \frac{- 2 (x + 4)}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 (x + 4)}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{x - 2 x - 8}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 8}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 8}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.6

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$\frac{- (x) - 1 (8)}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{- (x + 8)}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (x + 8)$ como $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{- 1 (x + 8)}{x + 4} \geq 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 8}{x + 4} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 5

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 8$

$x = - 4$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = - 8, - 4$

Etapa 8

Encontre o domínio de $- \frac{x + 8}{x + 4}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x + 8}{x + 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 4 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$x > - 4$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{- 10}{(- 10) + 4} \geq 2$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{- 6}{(- 6) + 4} \geq 2$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{0}{(0) + 4} \geq 2$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Verdadeiro

$x > - 4$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Verdadeiro

$x > - 4$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 8 \leq x < - 4$

Etapa 12