Álgebra Exemplos

$\log_{256} (x) < \frac{1}{4}$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$256^{\frac{1}{4}} = x$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $x = 256^{\frac{1}{4}}$ .

$x = 256^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique $256^{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.1.1

Reescreva $256$ como $4^{4}$ .

$x = {(4^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 4^{1}$

Etapa 2.2.2.3

Avalie o expoente.

$x = 4$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{256} (x) - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{256} (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log_{256} (- 2) < \frac{1}{4}$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\log_{256} (2) < \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $0.125$ é menor do que o lado direito $0.25$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\log_{256} (6) < \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $0.32312031$ não é menor do que o lado direito $0.25$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 4$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < 4$

Notação de intervalo:

$(0, 4)$

Etapa 8