Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Etapa 1

Encontre o intervalo da função determinada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

$[- 7, \infty)$

Etapa 1.2

Converta $[- 7, \infty)$ em uma desigualdade.

$y \geq - 7$

Etapa 2

Encontre o inverso.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Etapa 2.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Etapa 2.2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Etapa 2.2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.2.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 8$ e $c = 1 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.6

Subtraia $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.7

Fatore $8$ de $56 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.7.1

Fatore $8$ de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.7.2

Fatore $8$ de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.8

Reescreva $8 (7 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.6

Subtraia $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.7

Fatore $8$ de $56 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.7.1

Fatore $8$ de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.7.2

Fatore $8$ de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.8

Reescreva $8 (7 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Etapa 2.2.6.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 2.2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 2.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.6

Subtraia $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.7

Fatore $8$ de $56 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1.7.1

Fatore $8$ de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.7.2

Fatore $8$ de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.8

Reescreva $8 (7 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Etapa 2.2.7.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 2.2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 2.2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 2.3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Etapa 3

Encontre o inverso usando o domínio e o intervalo da função original.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Etapa 4