Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 1, x, 20$

Etapa 1.2

Como $x + 1, x, 20$ contém números e variáveis, há quatro etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC das partes numéricas, variáveis e variáveis compostas. Depois, multiplique tudo.

As etapas para encontrar o MMC de $x + 1, x, 20$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 20$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $x^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $x + 1$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.5

Os fatores primos de $20$ são $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Etapa 1.5.1

$20$ tem fatores de $2$ e $10$ .

$2 \cdot 10$

Etapa 1.5.2

$10$ tem fatores de $2$ e $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Etapa 1.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Etapa 1.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 5$

Etapa 1.6.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$20$

Etapa 1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x$

Etapa 1.9

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.10

O MMC de $x + 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x + 1$

Etapa 1.11

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$20 x (x + 1)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ por $20 x (x + 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ por $20 x (x + 1)$ .

$\frac{x}{x + 1} (20 x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$20 \frac{x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.2

Combine $20$ e $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{20 x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Fatore $x + 1$ de $x (x + 1)$ .

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$20 x \cdot x - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 (x^{1} x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 (x^{1} x^{1}) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 x^{1 + 1} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$20 x^{2} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x - 1}{x}$ para o numerador.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.8.2

Fatore $x$ de $20 x (x + 1)$ .

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$20 x^{2} - (x - 1) (20 (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.9

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$20 x^{2} - 20 (x - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x^{2} + (- 20 x - 20 \cdot - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.11

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$20 x^{2} + (- 20 x + 20) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.12

Expanda $(- 20 x + 20) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x^{2} - 20 x (x + 1) + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.1.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.13.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.13.1.1.1

Mova $x$ .

$20 x^{2} - 20 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.13.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.13.1.2

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.13.1.3

Multiplique $20$ por $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.13.2

Some $- 20 x$ e $20 x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.1.13.3

Some $- 20 x^{2}$ e $0$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Subtraia $20 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.2.2.2

Some $0$ e $20$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $20$ de $20 x (x + 1)$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$20 = x (x + 1)$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$20 = x \cdot x + x \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$20 = x^{2} + x \cdot 1$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$20 = x^{2} + x$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + x = 20$ .

$x^{2} + x = 20$

Etapa 3.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $x^{2} + x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 5$