Álgebra Exemplos

$\frac{5 x + 1}{x - 4} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$5 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 1$

Etapa 3

Divida cada termo em $5 x = - 1$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $5 x = - 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{5}$

Etapa 4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{1}{5}$

$x = 4$

Etapa 6

Consolide as soluções.

$x = - \frac{1}{5}, 4$

Etapa 7

Encontre o domínio de $\frac{5 x + 1}{x - 4}$ .

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{5 x + 1}{x - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 4 = 0$

Etapa 7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{5}$

$- \frac{1}{5} < x < 4$

$x > 4$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{5 (- 3) + 1}{(- 3) - 4} \leq 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{5} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{5} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{5 (0) + 1}{(0) - 4} \leq 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{5 (6) + 1}{(6) - 4} \leq 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $15.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{5}$ Falso

$- \frac{1}{5} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - \frac{1}{5}$ Falso

$- \frac{1}{5} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{5} \leq x < 4$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{1}{5} \leq x < 4$

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{5}, 4)$

Etapa 12