Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 1.3

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{3 \cdot 5}$

Etapa 1.4.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{15}$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x} < \frac{3 - 5}{15}$

Etapa 1.6

Subtraia $5$ de $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{- 2}{15}$

Etapa 1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} < - \frac{2}{15}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = - \frac{2}{15} x$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $- \frac{2}{15} x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Combine $x$ e $\frac{2}{15}$ .

$1 = - \frac{x \cdot 2}{15}$

Etapa 3.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$1 = - \frac{2 x}{15}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{2 x}{15} = 1$ .

$- \frac{2 x}{15} = 1$

Etapa 4.2

Multiplique os dois lados da equação por $- \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.1

Simplifique $- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15})$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 4.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{15}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.1.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 x}{15}$ para o numerador.

$\frac{- 15}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.1.3

Fatore $15$ de $- 15$ .

$\frac{15 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{15 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- - x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 4.3.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x = - \frac{15}{2}$

Etapa 5

Encontre o domínio de $\frac{1}{x} + \frac{2}{15}$ .

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{15}{2}$

$- \frac{15}{2} < x < 0$

$x > 0$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{15}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{15}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- 10} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $0.2\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $0.2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{15}{2} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{15}{2} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $0.08\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0.2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $0.8\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $0.2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{15}{2}$ Falso

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{15}{2}$ Falso

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Notação de intervalo:

$(- \frac{15}{2}, 0)$

Etapa 10