Álgebra Exemplos

$\sin^{2} (θ) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 5

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 5.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Etapa 5.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{5 π}{12}$

Etapa 5.4

Simplifique $π - \frac{5 π}{12}$ .

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Etapa 5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$θ = π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 5.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$θ = \frac{π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{12 \cdot π - 5 π}{12}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Etapa 5.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$ .

$θ = - \frac{5 π}{12}$

Etapa 6.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{5 π}{12} + π$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{5 π}{12} + π - 2 π$

Etapa 6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{17 π}{12}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$θ = \frac{17 π}{12}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{5 π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{5 π}{12} + 2 π$

Etapa 6.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 6.6.3

Combine frações.

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Etapa 6.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Etapa 6.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.4.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{24 π - 5 π}{12}$

Etapa 6.6.4.2

Subtraia $5 π$ de $24 π$ .

$\frac{19 π}{12}$

Etapa 6.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{19 π}{12}$

Etapa 6.7

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{17 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as soluções.

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Etapa 8.1

Consolide $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ e $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$θ = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ e $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ em $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$θ = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$