Álgebra Exemplos

$\cot (x) = 1$ , $π \leq x \leq \frac{3 π}{2}$

Etapa 1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $arccot (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[π, \frac{3 π}{2}]$ .

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Etapa 8.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{4} + π (1)$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Etapa 8.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.2.3

Combine frações.

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Etapa 8.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Etapa 8.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Etapa 8.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Etapa 8.2.4.2

Some $π$ e $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Etapa 8.3

O intervalo $[π, \frac{3 π}{2}]$ contém $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4}$