Álgebra Exemplos

$\frac{4 r}{r^{2} - 1} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{r^{2} - 1^{2}} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = r$ e $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1^{2}}$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 r = 2 \cdot r \cdot 1$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = r$ e $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ por $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) (r - 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Etapa 4.2

Eleve $r - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} (r - 1))} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Etapa 4.3

Eleve $r - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} {(r - 1)}^{1})} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{1 + 1}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ por $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores de $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 r (r - 1) - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 r \cdot r + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.2

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $r$ .

$\frac{4 (r \cdot r) + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{4 r^{2} + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.7

Expanda $(- 3 r - 1) (r + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r (r + 1) - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.1.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 6.8.1.1.1

Mova $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.8.1.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.8.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.8.1.3

Reescreva $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.8.2

Subtraia $r$ de $- 3 r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.9

Subtraia $3 r^{2}$ de $4 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 4 r - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Etapa 6.10

Subtraia $4 r$ de $- 4 r$ .

$\frac{r^{2} - 8 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$