Álgebra Exemplos

$\csc (θ) = - 2$

Etapa 1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (- 2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Etapa 3

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Etapa 5

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.3

Combine frações.

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Etapa 6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Etapa 7

O período da função $\csc (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$