Álgebra Exemplos

$\log_{3} (2 x^{2} + 2) - \log_{3} (x + 3) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 2}{x + 3}) = 0$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2}{x + 3}) = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x + 3}) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$2 (x^{2} + 1) = 3^{0} (x + 3)$

Etapa 4

Simplifique $3^{0} (x + 3)$ .

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Etapa 4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = 1 (x + 3)$

Etapa 4.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = x + 3$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 (x^{2} + 1) - x = 3$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 - x = 3$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 - x = 3$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - x = 3 - 2$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$2 x^{2} - x = 1$

Etapa 7

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Etapa 8.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 8.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Etapa 8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 10

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 11

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Forma decimal:

$x = - 0.5, 1$