Álgebra Exemplos

$\frac{5 r}{r^{2} - 9} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{r^{2} - 3^{2}} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = r$ e $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 3^{2}}$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 r = 2 \cdot r \cdot 3$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 3 + 3^{2}}$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = r$ e $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ por $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) (r - 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Etapa 4.2

Eleve $r - 3$ à potência de $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} (r - 3))} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Etapa 4.3

Eleve $r - 3$ à potência de $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} {(r - 3)}^{1})} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{1 + 1}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ por $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores de $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 r (r - 3) - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 r \cdot r + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.2

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $r$ .

$\frac{5 (r \cdot r) + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{5 r^{2} + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- (4 r) - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.7

Expanda $(- 4 r - 1) (r + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r (r + 3) - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.1.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 6.8.1.1.1

Mova $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 (r \cdot r) - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.8.1.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.8.1.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.8.1.3

Reescreva $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.8.2

Subtraia $r$ de $- 12 r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.9

Subtraia $4 r^{2}$ de $5 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 15 r - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Etapa 6.10

Subtraia $13 r$ de $- 15 r$ .

$\frac{r^{2} - 28 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$