Álgebra Exemplos

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = \frac{4}{3}$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Multiplique $0 (- 1 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

Etapa 1.1.1.3.2.3.2

Multiplique $0$ por $- 3$ .

$d = 0$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{4}{3} - (0 (- \frac{3}{4}))$

Etapa 1.1.1.4.2.1.5

Multiplique $0 (- \frac{3}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = \frac{4}{3} - (0 (\frac{3}{4}))$

Etapa 1.1.1.4.2.1.5.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{4}{3} - 0$

Etapa 1.1.1.4.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = \frac{4}{3} + 0$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Some $\frac{4}{3}$ e $0$ .

$e = \frac{4}{3}$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Etapa 1.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, \frac{4}{3})$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Etapa 1.5.3.4

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, \frac{7}{12})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 0$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{25}{12}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, \frac{4}{3})$

Foco: $(0, \frac{7}{12})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = \frac{25}{12}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, \frac{4}{3})$

Foco: $(0, \frac{7}{12})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = \frac{25}{12}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 4}{3}$

Etapa 2.2.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 4}{3}$

Etapa 2.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Some $- 1$ e $4$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.3.2

Divida $3$ por $3$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 4}{3}$

Etapa 2.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{3}$

Etapa 2.5.3.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 2.5.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 2$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{- {(1)}^{2} + 4}{3}$

Etapa 2.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1 + 4}{3}$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Etapa 2.8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Some $- 1$ e $4$ .

$f (1) = \frac{3}{3}$

Etapa 2.8.3.2

Divida $3$ por $3$ .

$f (1) = 1$

Etapa 2.8.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 4}{3}$

Etapa 2.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Etapa 2.11.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.3.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (2) = \frac{0}{3}$

Etapa 2.11.3.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (2) = 0$

Etapa 2.11.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 2$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, \frac{4}{3})$

Foco: $(0, \frac{7}{12})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = \frac{25}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Etapa 4