Álgebra Exemplos

$x^{3} - 2 x^{2} > 15 x$

Etapa 1

Subtraia $15 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x > 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 15 x = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $- 15 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15$ .

$x (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Etapa 3.2

Fatore.

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 5) (x + 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5, - 3$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} - 2 {(- 6)}^{2} > 15 (- 6)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 288$ não é maior do que o lado direito $- 90$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} > 15 (- 2)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 16$ é maior do que o lado direito $- 30$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} > 15 (2)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $30$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{3} - 2 {(8)}^{2} > 15 (8)$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $384$ é maior do que o lado direito $120$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < 0$ ou $x > 5$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 3 < x < 0 or x > 5$

Notação de intervalo:

$(- 3, 0) \cup (5, \infty)$

Etapa 13